Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$

Langkah 1

Temukan nilai eigennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik $p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$

Langkah 1.2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo $3$ adalah matriks persegi $3 \times 3$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 1.3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam $p (λ) = determinan (A - λ I_{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$ untuk $A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] - λ I_{3})$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ untuk $I_{3}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Kalikan $- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.4

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.4.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.4.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.6

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.6.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.6.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.7

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.7.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.7.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.8

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.8.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.8.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 1.4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.3

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.4

Kurangi $λ$ dengan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 & - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 & - λ & 1 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.6

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 & - λ & 1 \\ 1 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.7

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 & - λ & 1 \\ 1 & 1 & 2 - λ \end{array}]$

Langkah 1.5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Langkah 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Langkah 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

Langkah 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

Langkah 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

Langkah 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

Langkah 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Langkah 1.5.2

Kalikan $0$ dengan $| \begin{array}{c} 3 & - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.3

Evaluasi $| \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ (2 - λ) - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ \cdot 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.3.2.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.3.2.1.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.4.1

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.4.1.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.3.2.1.4.1.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.3.2.1.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.3.2.1.4.3

Kalikan $λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.3.2.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ + λ^{2} - 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.3.2.2

Susun kembali $- 2 λ$ dan $λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Langkah 1.5.4

Evaluasi $| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (3 (2 - λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (3 \cdot 2 + 3 (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (6 + 3 (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (6 - 3 λ - 1 \cdot 1) + 0$

Langkah 1.5.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (6 - 3 λ - 1) + 0$

Langkah 1.5.4.2.2

Kurangi $1$ dengan $6$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (- 3 λ + 5) + 0$

Langkah 1.5.5

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.1

Tambahkan $(- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (- 3 λ + 5)$ dan $0$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (- 3 λ + 5)$

Langkah 1.5.5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.2.1

Perluas $(- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 2 (- 2 λ) - 2 \cdot - 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Langkah 1.5.5.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.2.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ - 2 \cdot - 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Langkah 1.5.5.2.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Langkah 1.5.5.2.2.3

Kalikan $λ$ dengan $λ^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.2.2.3.1

Pindahkan $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Langkah 1.5.5.2.2.3.2

Kalikan $λ^{2}$ dengan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.2.2.3.2.1

Naikkan $λ$ menjadi pangkat $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Langkah 1.5.5.2.2.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Langkah 1.5.5.2.2.3.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Langkah 1.5.5.2.2.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Langkah 1.5.5.2.2.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.2.2.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Langkah 1.5.5.2.2.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2} - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Langkah 1.5.5.2.2.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} + 2 λ^{2} - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Langkah 1.5.5.2.2.7

Kalikan $- λ \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.2.2.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} + 2 λ^{2} + 1 λ - 3 (- 3 λ + 5)$

Langkah 1.5.5.2.2.7.2

Kalikan $λ$ dengan $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} + 2 λ^{2} + λ - 3 (- 3 λ + 5)$

Langkah 1.5.5.2.3

Gabungkan suku balikan dalam $- 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} + 2 λ^{2} + λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.2.3.1

Tambahkan $- 2 λ^{2}$ dan $2 λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ + 2 - λ^{3} + 0 + λ - 3 (- 3 λ + 5)$

Langkah 1.5.5.2.3.2

Tambahkan $4 λ + 2 - λ^{3}$ dan $0$ .

$p (λ) = 4 λ + 2 - λ^{3} + λ - 3 (- 3 λ + 5)$

Langkah 1.5.5.2.4

Tambahkan $4 λ$ dan $λ$ .

$p (λ) = 5 λ + 2 - λ^{3} - 3 (- 3 λ + 5)$

Langkah 1.5.5.2.5

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 5 λ + 2 - λ^{3} - 3 (- 3 λ) - 3 \cdot 5$

Langkah 1.5.5.2.6

Kalikan $- 3$ dengan $- 3$ .

$p (λ) = 5 λ + 2 - λ^{3} + 9 λ - 3 \cdot 5$

Langkah 1.5.5.2.7

Kalikan $- 3$ dengan $5$ .

$p (λ) = 5 λ + 2 - λ^{3} + 9 λ - 15$

Langkah 1.5.5.3

Tambahkan $5 λ$ dan $9 λ$ .

$p (λ) = 14 λ + 2 - λ^{3} - 15$

Langkah 1.5.5.4

Kurangi $15$ dengan $2$ .

$p (λ) = 14 λ - λ^{3} - 13$

Langkah 1.5.5.5

Susun kembali $14 λ$ dan $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 14 λ - 13$

Langkah 1.6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan $0$ untuk menemukan nilai eigen $λ$ .

$- λ^{3} + 14 λ - 13 = 0$

Langkah 1.7

Selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $- λ^{3} + 14 λ - 13$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $- λ^{3}$ .

$- (λ^{3}) + 14 λ - 13 = 0$

Langkah 1.7.1.1.2

Faktorkan $- 1$ dari $14 λ$ .

$- (λ^{3}) - (- 14 λ) - 13 = 0$

Langkah 1.7.1.1.3

Tulis kembali $- 13$ sebagai $- 1 (13)$ .

$- (λ^{3}) - (- 14 λ) - 1 \cdot 13 = 0$

Langkah 1.7.1.1.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (λ^{3}) - (- 14 λ)$ .

$- (λ^{3} - 14 λ) - 1 \cdot 13 = 0$

Langkah 1.7.1.1.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (λ^{3} - 14 λ) - 1 (13)$ .

$- (λ^{3} - 14 λ + 13) = 0$

Langkah 1.7.1.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.2.1

Faktorkan $λ^{3} - 14 λ + 13$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.2.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 13$

$q = \pm 1$

Langkah 1.7.1.2.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 13$

Langkah 1.7.1.2.1.3

Substitusikan $1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.2.1.3.1

Substitusikan $1$ ke dalam polinomialnya.

$1^{3} - 14 \cdot 1 + 13$

Langkah 1.7.1.2.1.3.2

Naikkan $1$ menjadi pangkat $3$ .

$1 - 14 \cdot 1 + 13$

Langkah 1.7.1.2.1.3.3

Kalikan $- 14$ dengan $1$ .

$1 - 14 + 13$

Langkah 1.7.1.2.1.3.4

Kurangi $14$ dengan $1$ .

$- 13 + 13$

Langkah 1.7.1.2.1.3.5

Tambahkan $- 13$ dan $13$ .

$0$

Langkah 1.7.1.2.1.4

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $λ - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{λ^{3} - 14 λ + 13}{λ - 1}$

Langkah 1.7.1.2.1.5

Bagilah $λ^{3} - 14 λ + 13$ dengan $λ - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.2.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$14 λ$

$13$

Langkah 1.7.1.2.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $λ^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$

Langkah 1.7.1.2.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

Langkah 1.7.1.2.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $λ^{3} - λ^{2}$

				$λ^{2}$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

Langkah 1.7.1.2.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$

Langkah 1.7.1.2.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$

Langkah 1.7.1.2.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $λ^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $λ$ .

				$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$

Langkah 1.7.1.2.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					+	$λ^{2}$	-	$λ$

Langkah 1.7.1.2.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $λ^{2} - λ$

				$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$

Langkah 1.7.1.2.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$

Langkah 1.7.1.2.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$	+	$13$

Langkah 1.7.1.2.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 13 λ$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $λ$ .

				$λ^{2}$	+	$λ$	-	$13$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$	+	$13$

Langkah 1.7.1.2.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$λ^{2}$	+	$λ$	-	$13$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$	+	$13$
							-	$13 λ$	+	$13$

Langkah 1.7.1.2.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 13 λ + 13$

				$λ^{2}$	+	$λ$	-	$13$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$	+	$13$
							+	$13 λ$	-	$13$

Langkah 1.7.1.2.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$λ^{2}$	+	$λ$	-	$13$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$	+	$13$
							+	$13 λ$	-	$13$
										$0$

Langkah 1.7.1.2.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$λ^{2} + λ - 13$

Langkah 1.7.1.2.1.6

Tulis $λ^{3} - 14 λ + 13$ sebagai himpunan faktor.

$- ((λ - 1) (λ^{2} + λ - 13)) = 0$

Langkah 1.7.1.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- (λ - 1) (λ^{2} + λ - 13) = 0$

Langkah 1.7.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$λ - 1 = 0$

$λ^{2} + λ - 13 = 0$

Langkah 1.7.3

Atur $λ - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Atur $λ - 1$ sama dengan $0$ .

$λ - 1 = 0$

Langkah 1.7.3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$λ = 1$

Langkah 1.7.4

Atur $λ^{2} + λ - 13$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Atur $λ^{2} + λ - 13$ sama dengan $0$ .

$λ^{2} + λ - 13 = 0$

Langkah 1.7.4.2

Selesaikan $λ^{2} + λ - 13 = 0$ untuk $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 1.7.4.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = 1$ , dan $c = - 13$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $λ$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 13)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.4.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.2.3.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 13}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.4.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot - 13$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 13}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.4.2.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 13$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 52}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.4.2.3.1.3

Tambahkan $1$ dan $52$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{53}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.4.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{53}}{2}$

Langkah 1.7.4.2.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$λ = - \frac{1 - \sqrt{53}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{53}}{2}$

Langkah 1.7.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- (λ - 1) (λ^{2} + λ - 13) = 0$ benar.

$λ = 1, - \frac{1 - \sqrt{53}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{53}}{2}$

Langkah 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Langkah 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kurangkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} - 2 - 1 & 3 - 0 & 0 - 0 \\ 3 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Kurangi $1$ dengan $- 2$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 - 0 & 0 - 0 \\ 3 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.2

Kurangi $0$ dengan $3$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 - 0 \\ 3 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.3

Kurangi $0$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.4

Kurangi $0$ dengan $3$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.5

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.6

Kurangi $0$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.7

Kurangi $0$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.8

Kurangi $0$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 - 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.2.9

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Langkah 3.3

Find the null space when $λ = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 3 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 \cdot - 1 & 1 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 + 1 & 1 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.3.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.4.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 (\frac{1}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.5.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + \frac{1}{2} & 0 + 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.6.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{2} z = 0$

$y + \frac{1}{2} z = 0$

$0 = 0$

Langkah 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{2} \\ - \frac{z}{2} \\ z \end{array}]$

Langkah 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]$

Langkah 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Langkah 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - \frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Kalikan $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.1

Kalikan $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.2

Kalikan $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.3

Kalikan $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.4

Kalikan $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.5

Kalikan $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.6

Kalikan $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.7

Kalikan $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.8

Kalikan $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2.9

Kalikan $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} - 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Untuk menuliskan $- 2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{- 2 \cdot 2 + 1 - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.4.1

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 4 + 1 - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.4.2

Tambahkan $- 4$ dan $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 3 - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.5

Tulis kembali $- 3$ sebagai $- 1 (3)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.6

Faktorkan $- 1$ dari $- \sqrt{53}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - (\sqrt{53})}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.7

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (3) - (\sqrt{53})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3 + \sqrt{53})}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.9

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.10

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.11

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.12

Kurangi $- \frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.13

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.14

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.15

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.16

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.17

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.18

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{2 \cdot 2 + 1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.19

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.19.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{4 + 1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.2.3.19.2

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 4.3

Find the null space when $λ = - \frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{3 + \sqrt{53}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{3 + \sqrt{53}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3 + \sqrt{53}} (- \frac{3 + \sqrt{53}}{2}) & - \frac{2}{3 + \sqrt{53}} \cdot 3 & - \frac{2}{3 + \sqrt{53}} \cdot 0 & - \frac{2}{3 + \sqrt{53}} \cdot 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} - 3 \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 1 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{8 + \sqrt{53}}{11} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{8 + \sqrt{53}}{11} & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.3.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{8 + \sqrt{53}}{11} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{11}{8 + \sqrt{53}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{11}{8 + \sqrt{53}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ - \frac{11}{8 + \sqrt{53}} \cdot 0 & - \frac{11}{8 + \sqrt{53}} (- \frac{8 + \sqrt{53}}{11}) & - \frac{11}{8 + \sqrt{53}} \cdot 1 & - \frac{11}{8 + \sqrt{53}} \cdot 0 \\ 0 & \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.4.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 8 + \sqrt{53} & 0 \\ 0 & \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 8 + \sqrt{53} & 0 \\ 0 - \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} \cdot 0 & \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} - \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} \cdot 1 & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} - \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} (- 8 + \sqrt{53}) & 0 - \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.5.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 8 + \sqrt{53} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} \cdot 0 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} - \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} \cdot 1 & 0 - \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} (- 8 + \sqrt{53}) & 0 - \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 8 + \sqrt{53} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.6.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{21 - 3 \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 8 + \sqrt{53} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{21 - 3 \sqrt{53}}{2} z = 0$

$y + (- 8 + \sqrt{53}) z = 0$

$0 = 0$

Langkah 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{21 z}{2} + \frac{3 \sqrt{53} z}{2} \\ 8 z - \sqrt{53} z \\ z \end{array}]$

Langkah 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{21}{2} + \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 - \sqrt{53} \\ 1 \end{array}]$

Langkah 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{21}{2} + \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 - \sqrt{53} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Langkah 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{21}{2} + \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 - \sqrt{53} \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - \frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Kalikan $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 5.2.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1

Kalikan $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 5.2.1.2.2

Kalikan $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 5.2.1.2.3

Kalikan $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 5.2.1.2.4

Kalikan $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 5.2.1.2.5

Kalikan $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 5.2.1.2.6

Kalikan $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 5.2.1.2.7

Kalikan $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 5.2.1.2.8

Kalikan $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 5.2.1.2.9

Kalikan $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 5.2.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} - 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 5.2.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Untuk menuliskan $- 2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 5.2.3.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 5.2.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{- 2 \cdot 2 + 1 + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 5.2.3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.4.1

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 4 + 1 + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 5.2.3.4.2

Tambahkan $- 4$ dan $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 3 + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 5.2.3.5

Tulis kembali $- 3$ sebagai $- 1 (3)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 5.2.3.6

Faktorkan $- 1$ dari $\sqrt{53}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - 1 (- \sqrt{53})}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 5.2.3.7

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{53})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3 - \sqrt{53})}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 5.2.3.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 5.2.3.9

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 5.2.3.10

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 5.2.3.11

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 5.2.3.12

Tambahkan $0$ dan $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 5.2.3.13

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 5.2.3.14

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 5.2.3.15

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 5.2.3.16

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 5.2.3.17

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 5.2.3.18

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{2 \cdot 2 + 1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 5.2.3.19

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.19.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{4 + 1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 5.2.3.19.2

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Langkah 5.3

Find the null space when $λ = - \frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{3 - \sqrt{53}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{3 - \sqrt{53}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3 - \sqrt{53}} (- \frac{3 - \sqrt{53}}{2}) & - \frac{2}{3 - \sqrt{53}} \cdot 3 & - \frac{2}{3 - \sqrt{53}} \cdot 0 & - \frac{2}{3 - \sqrt{53}} \cdot 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} - 3 \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 1 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{8 - \sqrt{53}}{11} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{8 - \sqrt{53}}{11} & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2.3.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{8 - \sqrt{53}}{11} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{11}{8 - \sqrt{53}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{11}{8 - \sqrt{53}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ - \frac{11}{8 - \sqrt{53}} \cdot 0 & - \frac{11}{8 - \sqrt{53}} (- \frac{8 - \sqrt{53}}{11}) & - \frac{11}{8 - \sqrt{53}} \cdot 1 & - \frac{11}{8 - \sqrt{53}} \cdot 0 \\ 0 & \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2.4.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 8 - \sqrt{53} & 0 \\ 0 & \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 8 - \sqrt{53} & 0 \\ 0 - \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} \cdot 0 & \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} - \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} \cdot 1 & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} - \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} (- 8 - \sqrt{53}) & 0 - \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} \cdot 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2.5.2

Sederhanakan $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 8 - \sqrt{53} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} \cdot 0 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} - \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} \cdot 1 & 0 - \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} (- 8 - \sqrt{53}) & 0 - \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 8 - \sqrt{53} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.2.6.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{21 + 3 \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 8 - \sqrt{53} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{21 + 3 \sqrt{53}}{2} z = 0$

$y + (- 8 - \sqrt{53}) z = 0$

$0 = 0$

Langkah 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{21 z}{2} - \frac{3 \sqrt{53} z}{2} \\ 8 z + \sqrt{53} z \\ z \end{array}]$

Langkah 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{21}{2} - \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 + \sqrt{53} \\ 1 \end{array}]$

Langkah 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{21}{2} - \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 + \sqrt{53} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Langkah 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{21}{2} - \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 + \sqrt{53} \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{21}{2} + \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 - \sqrt{53} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{21}{2} - \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 + \sqrt{53} \\ 1 \end{array}]}$